Usando o método de substituição, resolva as equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli usando o método de substituição. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método de substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro que é uma equação linear. A equação dada já está nessa forma:
Isso é parecido com a forma padrão de uma equação linear:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: