Usando o método de substituição, resolva as equações de Bernoulli: d/y d x = y(x^3 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli usando o método de substituição. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método de substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro que é uma equação linear. A equação dada já está nessa forma:
Isso é parecido com a forma padrão de uma equação linear:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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