Resolva as seguintes equaçōes diferenciais: (1.5)(x + x y^2) dx + (y + x^2 y) dy = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa equação envolve conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na equação, onde M é o coeficiente de e N o de :

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, buscamos um fator integrante que dependa apenas de uma variável (x ou y) para torná-la exata. Calculamos a razão:
Esse resultado depende apenas de x, então o fator integrante será uma função de x.

Passo 5

Encontramos o fator integrante mu(x) integrando a expressão obtida:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Agora, a equação se torna exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a x:
Após integrar, obtemos:

Passo 8

Para determinar , usamos a condição de exatidão:
Derivando em relação a y:
Igualando às duas expressões e resolvendo para , vemos que , então é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é a constante de integração.

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