Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação envolve conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na equação, onde
é o coeficiente de
e
o de
:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, buscamos um fator integrante que dependa apenas de uma variável (x ou y) para torná-la exata. Calculamos a razão:
Esse resultado depende apenas de
, então o fator integrante será uma função de
.
Passo 5
Encontramos o fator integrante
integrando a expressão obtida:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação se torna exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Após integrar, obtemos:
Passo 8
Para determinar
, usamos a condição de exatidão:
Derivando
em relação a
:
Igualando às duas expressões e resolvendo para
, vemos que
, então
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.