Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar entender como representar o operador em uma matriz e depois calcular seu polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o polinômio característico de um operador linear, precisamos representar esse operador em forma de matriz em relação a uma base adequada. Vamos escolher a base padrão para , que é .
Passo 3
Agora, vamos ver como o operador age sobre cada elemento dessa base:
: Aqui, , , . Então,
: Aqui, , , . Então,
: Aqui, , , . Então,
Passo 4
Com isso, podemos escrever a matriz de em relação à base . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade.
Passo 6
Vamos montar a matriz A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :