(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
a) O polinômio característico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar entender como representar o operador em uma matriz e depois calcular seu polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o polinômio característico de um operador linear, precisamos representar esse operador em forma de matriz em relação a uma base adequada. Vamos escolher a base padrão para , que é .

Passo 3

Agora, vamos ver como o operador age sobre cada elemento dessa base:
  • : Aqui, , , . Então,
  • : Aqui, , , . Então,
  • : Aqui, , , . Então,

Passo 4

Com isso, podemos escrever a matriz de em relação à base . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base:

Passo 5

O próximo passo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade.

Passo 6

Vamos montar a matriz :

Passo 7

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo o determinante:
Fatorando :

Resposta

O polinômio característico de é:

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Considere a seguinte matriz hermitiana
(b) Encontre os autovalores e de .
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
b) Os autovalores de .
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
c) Uma base de cada autoespaço associado a cada autovalor de .