(0.25pt) Considere o operador linear T: P2(R) P2(R) definido por
T(a+b t+c t^2)=b+a t+c t^2
Determine
a) O polinômio característico de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar entender como representar o operador em uma matriz e depois calcular seu polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o polinômio característico de um operador linear, precisamos representar esse operador em forma de matriz em relação a uma base adequada. Vamos escolher a base padrão para , que é .

Passo 3

Agora, vamos ver como o operador T(1) = 0 + 1 cdot t + 0 cdot t^2 = t age sobre cada elemento dessa base:
  • T(t) = 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2 = 1 : Aqui, T(t^2) = 0 + 0 cdot t + 1 cdot t^2 = t^2 , , . Então,
  • : Aqui, , , . Então,
  • : Aqui, , , . Então,

Passo 4

Com isso, podemos escrever a matriz de [T] = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 em relação à base . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base:

Passo 5

O próximo passo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade.

Passo 6

Vamos montar a matriz A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :

Passo 7

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Expandindo o determinante:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = lambda^2 (1 - lambda) - (1 - lambda)
Fatorando det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = (1 - lambda)^2 (lambda + 1) :

Resposta

O polinômio característico de p(lambda) = (1 - lambda)^2 (lambda + 1) é:

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