Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A função transforma um polinômio em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador. Autovalores são aqueles valores de que satisfazem a equação , onde é um vetor (ou polinômio, no nosso caso) não nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, precisamos escolher uma base para . Vamos usar a base canônica . Agora, aplicamos em cada um desses vetores base:
Então, a matriz de na base fica assim:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade. Subtraindo da diagonal de , temos:
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Fatorando :
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá três soluções:
Então, os autovalores são e . Note que aparece duas vezes, indicando que sua multiplicidade é 2.