(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
b) Os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A função transforma um polinômio em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador. Autovalores são aqueles valores de que satisfazem a equação , onde é um vetor (ou polinômio, no nosso caso) não nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, precisamos escolher uma base para . Vamos usar a base canônica . Agora, aplicamos em cada um desses vetores base:
Então, a matriz de na base fica assim:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade. Subtraindo da diagonal de , temos:
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá três soluções:
Então, os autovalores são e . Note que aparece duas vezes, indicando que sua multiplicidade é 2.

Resposta

Os autovalores de são e .

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(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
a) O polinômio característico de .
Considere a seguinte matriz hermitiana
(b) Encontre os autovalores e de .
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Determine
c) Uma base de cada autoespaço associado a cada autovalor de .
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Determine
d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de .