(0.25pt) Considere o operador linear T: P2(R) P2(R) definido por
T(a+b t+c t^2)=b+a t+c t^2
Determine
b) Os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A função transforma um polinômio em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador. Autovalores são aqueles valores de que satisfazem a equação , onde é um vetor (ou polinômio, no nosso caso) não nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador [T] = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 como uma matriz. Para isso, precisamos escolher uma base para . Vamos usar a base canônica . Agora, aplicamos em cada um desses vetores base:
Então, a matriz de na base fica assim:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det([T] - lambda I) = 0
Onde [T] - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda é a matriz identidade. Subtraindo det([T] - lambda I) = (-lambda) cdot ( (-lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 0 ) - 1 cdot (1 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 0 ) + 0 cdot (1 cdot 0 - (-lambda) cdot 0 ) da diagonal de det([T] - lambda I) = -lambda(-lambda)(1 - lambda) - 1(1 - lambda) = lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda) , temos:
(1 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
(1 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0
Isso nos dá três soluções:
Então, os autovalores são e . Note que aparece duas vezes, indicando que sua multiplicidade é 2.

Resposta

Os autovalores de são e .

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