Determine
c) Uma base de cada autoespaço associado a cada autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . Precisamos encontrar uma base para cada autoespaço (ou seja, espaço formado pelos autovetores) associado a cada autovalor desse operador. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o operador está definido. Ele transforma um polinômio em outro polinômio . Ou seja, ele troca o coeficiente de com o de e mantém o de igual.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica. Isso envolve encontrar os valores de tais que para algum polinômio não nulo.
Vamos supor que , então:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação, temos . Se , então . Se , não há restrição sobre a partir dessa equação.
Da primeira e segunda equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Se , então , ou seja, ou .
Então, os autovalores possíveis são e .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Usamos as equações:
Da primeira e segunda, . E pode ser qualquer valor. Então, os polinômios são da forma .
Podemos escrever como combinação linear de e . Portanto, uma base para o autoespaço de é .
Para :
Usamos as equações:
Da primeira e segunda, . Da terceira, , o que implica .
Então, os polinômios são da forma .
Podemos escrever como . Portanto, uma base para o autoespaço de é .