(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
c) Uma base de cada autoespaço associado a cada autovalor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, . Precisamos encontrar uma base para cada autoespaço (ou seja, espaço formado pelos autovetores) associado a cada autovalor desse operador. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o operador está definido. Ele transforma um polinômio em outro polinômio . Ou seja, ele troca o coeficiente de com o de e mantém o de igual.

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica. Isso envolve encontrar os valores de tais que para algum polinômio não nulo.
Vamos supor que , então:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da terceira equação, temos . Se , então . Se , não há restrição sobre a partir dessa equação.
  2. Da primeira e segunda equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Se , então , ou seja, ou .
Então, os autovalores possíveis são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Usamos as equações:
Da primeira e segunda, . E pode ser qualquer valor. Então, os polinômios são da forma .
Podemos escrever como combinação linear de e . Portanto, uma base para o autoespaço de é .
Para :
Usamos as equações:
Da primeira e segunda, . Da terceira, , o que implica .
Então, os polinômios são da forma .
Podemos escrever como . Portanto, uma base para o autoespaço de é .

Resposta

Uma base para cada autoespaço de é:
  • Para :
  • Para :

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Determine
b) Os autovalores de .
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
a) O polinômio característico de .
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de .
Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 18 soluções se .