Sejam A, B e C operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, Tr A=sumn An n. Mostre que:
[A, B C]=B[A, C]+[A, B] C

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, para operadores lineares [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C e , a seguinte igualdade vale:
Aqui, estamos lidando com comutadores de operadores lineares, que são uma forma de medir o quanto dois operadores não comutam, ou seja, o quanto a ordem na multiplicação deles importa. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas da multiplicação de operadores e a definição de comutador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o comutador [A, BC] = A(BC) - (BC)A . Por definição:
Isso quer dizer que estamos subtraindo a multiplicação dos operadores e na ordem inversa.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a associatividade da multiplicação de operadores. Associatividade nos permite reordenar os parênteses sem mudar o resultado. Assim:
A(BC) = (AB)C e (BC)A = B(CA)
Substituindo na expressão do comutador:
[A, BC] = (AB)C - B(CA)

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão adicionando e subtraindo o termo [A, BC] = AB C - B AC + B AC - B CA dentro da equação:
Isso é uma técnica comum para facilitar a fatoração depois.

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos de forma conveniente:
[A, BC] = (AB - BA)C + B(AC - CA)
Aqui, reorganizamos os termos para destacar os comutadores e .

Passo 6

Reconhecendo as definições dos comutadores:
AB - BA = [A, B] e AC - CA = [A, C]
Substituindo na expressão:
[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]

Resposta

[A, BC] = [A, B],C + B,[A, C]

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