Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, para operadores lineares e , a seguinte igualdade vale:
Aqui, estamos lidando com comutadores de operadores lineares, que são uma forma de medir o quanto dois operadores não comutam, ou seja, o quanto a ordem na multiplicação deles importa. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas da multiplicação de operadores e a definição de comutador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o comutador . Por definição:
Isso quer dizer que estamos subtraindo a multiplicação dos operadores e na ordem inversa.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a associatividade da multiplicação de operadores. Associatividade nos permite reordenar os parênteses sem mudar o resultado. Assim:
Substituindo na expressão do comutador:

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão adicionando e subtraindo o termo dentro da equação:
Isso é uma técnica comum para facilitar a fatoração depois.

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos de forma conveniente:
Aqui, reorganizamos os termos para destacar os comutadores e .

Passo 6

Reconhecendo as definições dos comutadores:
Substituindo na expressão:

Resposta

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calcule:
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Considere a seguinte matriz hermitiana
(b) Encontre os autovalores e de .
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
a) O polinômio característico de .