Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz hermitiana chamada e precisa encontrar seus autovalores e . Autovalores são aqueles valores especiais que, quando a gente multiplica a matriz por um vetor próprio, o resultado é apenas uma versão escalada desse vetor. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante da matriz , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz . Subtraímos dos elementos da diagonal principal da matriz :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a encontrar os valores de que satisfazem a equação . Vamos expandir o determinante:
Passo 4
Simplificando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Juntando tudo:
Passo 5
Agora, a gente resolve a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Primeira possibilidade:
Segunda possibilidade:
Mas aqui temos um problema: o lado esquerdo é um quadrado, sempre positivo ou zero, e o lado direito é negativo. Isso não tem solução real. Porém, como estamos lidando com uma matriz hermitiana, sabemos que todos os autovalores devem ser reais. Então, na verdade, a única solução real aqui é .
Passo 6
No entanto, sabemos que uma matriz 3x3 deve ter três autovalores. Então, precisamos revisar nosso cálculo. Realmente, com a matriz dada, ao calcular corretamente o determinante e resolver a equação cúbica resultante, encontramos que os autovalores são: