Determine
d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que envolve operadores lineares em espaços de polinômios. Especificamente, temos o operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . A definição de é a seguinte:
Nosso objetivo aqui é determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, multiplicidade algébrica e geométrica, além de trabalhar com matrizes e seus polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Um autovalor de um operador linear é um número tal que existe um vetor não nulo onde . No nosso caso, como estamos lidando com polinômios, será um polinômio.
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade. Mas antes, vamos representar o operador como uma matriz em relação à base padrão de , que é .
Passo 3
Vamos aplicar em cada elemento da base para construir a matriz de .
Agora, expressamos esses resultados em termos das coordenadas na base :
corresponde a
corresponde a
corresponde a
Assim, a matriz de é:
Passo 4
Agora que temos a matriz de , vamos encontrar seus autovalores. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico:
Subtraindo na diagonal principal da matriz , temos:
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Fatorando:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são com multiplicidade algébrica 2 e com multiplicidade algébrica 1.
Passo 5
Agora, vamos determinar a multiplicidade geométrica de cada autovalor. A multiplicidade geométrica é o número de vetores independentes que formam o espaço próprio (espaço das soluções da equação ) para cada autovalor .
Vamos começar com . Substituindo na equação :
Resolvendo o sistema :
Então, os vetores próprios têm a forma , onde e são números reais. Isso significa que o espaço próprio de é bidimensional, então a multiplicidade geométrica é 2.
Agora, para :
Resolvendo :
Então, os vetores próprios têm a forma , onde é um número real. Isso mostra que o espaço próprio de é unidimensional, então a multiplicidade geométrica é 1.
Resposta
Cada autovalor de tem as seguintes multiplicidades:
: multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2.
: multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1.