(0.25pt) Considere o operador linear T: P2(R) P2(R) definido por
T(a+b t+c t^2)=b+a t+c t^2
Determine
d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que envolve operadores lineares em espaços de polinômios. Especificamente, temos o operador linear T(a + b t + c t^2) = b + a t + c t^2 que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . A definição de é a seguinte:
Nosso objetivo aqui é determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, multiplicidade algébrica e geométrica, além de trabalhar com matrizes e seus polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Um autovalor de um operador linear é um número tal que existe um vetor não nulo onde . No nosso caso, como estamos lidando com polinômios, será um polinômio.
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade. Mas antes, vamos representar o operador como uma matriz em relação à base padrão de , que é .

Passo 3

Vamos aplicar [T] = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 em cada elemento da base para construir a matriz de .
Agora, expressamos esses resultados em termos das coordenadas na base :
  1. corresponde a
  2. corresponde a
  3. corresponde a
Assim, a matriz de é:

Passo 4

Agora que temos a matriz de det(T - lambda I) = 0 , vamos encontrar seus autovalores. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico:
T - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Subtraindo det(T - lambda I) = (-lambda) cdot det -lambda & 0 0 & 1 - lambda - 1 cdot det 1 & 0 0 & 1 - lambda + 0 cdot det 1 & -lambda 0 & 0 na diagonal principal da matriz det(T - lambda I) = (-lambda)((-lambda)(1 - lambda)) - 1(1 cdot (1 - lambda)) = lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda) , temos:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1) = -(1 - lambda)^2(lambda + 1)
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
-(1 - lambda)^2(lambda + 1) = 0 implies lambda = 1 (com mu
Simplificando:
Fatorando:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são com multiplicidade algébrica 2 e com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar a multiplicidade geométrica de cada autovalor. A multiplicidade geométrica é o número de vetores independentes que formam o espaço próprio (espaço das soluções da equação T - I = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 ) para cada autovalor T + I = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 .
Vamos começar com . Substituindo na equação :
Resolvendo o sistema :
Então, os vetores próprios têm a forma , onde e são números reais. Isso significa que o espaço próprio de é bidimensional, então a multiplicidade geométrica é 2.
Agora, para :
Resolvendo :
Então, os vetores próprios têm a forma , onde é um número real. Isso mostra que o espaço próprio de é unidimensional, então a multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Cada autovalor de tem as seguintes multiplicidades:
  • : multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2.
  • : multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1.

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