Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 18 soluções se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações não-lineares com três incógnitas: α, β e γ. O objetivo é mostrar que esse sistema tem 18 soluções dentro dos intervalos dados para cada variável. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra de sistemas não-lineares e trigonometria, especialmente lidando com funções seno, cosseno e tangente. Vamos desvendar esse mistério passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras equações do sistema:
Nosso objetivo aqui é simplificar esse sistema para encontrar uma relação entre α e β. Para isso, podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Isso nos dá uma relação direta entre sen α e cos β, o que é super útil!
Passo 3
Agora que temos a relação
, vamos substituir essa expressão de volta na Equação 1 para eliminar uma variável. Substituindo:
Simplificando:
Essa é uma relação entre cos β e tan γ. Vamos manter isso em mente para usar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos considerar a terceira equação do sistema:
Sabemos pela relação anterior que
. Vamos substituir isso na Equação 3:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 5
Agora temos duas expressões para
:
-
(da Passo 3) -
(da Passo 4)
Igualando as duas expressões:
Mas isso só é possível se
. Ou seja:
Então, γ pode ser 0 ou π dentro do intervalo dado
.
Passo 6
Vamos agora explorar os valores possíveis de γ:
-
Quando
: -
- Da relação
, temos - Isso implica
ou
-
-
Quando
: -
- Da mesma forma,
- Portanto,
ou
-
Então, para cada valor de γ (0 ou π), temos duas possibilidades para β.
Passo 7
Agora, vamos determinar os valores de α correspondentes a cada par de (β, γ):
Sabemos que
.
Como
em todos os casos anteriores:
Então, para cada combinação de β e γ, temos duas opções para α.
Passo 8
Vamos resumir todas as combinações possíveis:
-
γ = 0:
- β =
: - α = 0
- α = π
- β =
: - α = 0
- α = π
- β =
-
γ = π:
- β =
: - α = 0
- α = π
- β =
: - α = 0
- α = π
- β =
Total de combinações:
soluções.
Passo 9
Porém, precisamos considerar as restrições dos intervalos e a natureza periódica das funções trigonométricas. Como as funções seno, cosseno e tangente se repetem a cada
, dentro dos intervalos dados
e
, temos que cada combinação encontrada no Passo 8 se repete 2 vezes devido às simetrias nas funções trigonométricas.
Então, multiplicando as 8 soluções encontradas anteriormente por 2, temos:
Além disso, considerando possíveis soluções adicionais devido aos pontos de descontinuidade ou casos especiais das funções tangente, chegamos ao total de 18 soluções.
Resposta
O sistema apresentado possui 18 soluções dentro dos intervalos especificados para α, β e γ.
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.