Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 18 soluções se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações não-lineares com três incógnitas: α, β e γ. O objetivo é mostrar que esse sistema tem 18 soluções dentro dos intervalos dados para cada variável. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra de sistemas não-lineares e trigonometria, especialmente lidando com funções seno, cosseno e tangente. Vamos desvendar esse mistério passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras equações do sistema:
çãçã
Nosso objetivo aqui é simplificar esse sistema para encontrar uma relação entre α e β. Para isso, podemos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Isso nos dá uma relação direta entre sen α e cos β, o que é super útil!

Passo 3

Agora que temos a relação , vamos substituir essa expressão de volta na Equação 1 para eliminar uma variável. Substituindo:
Simplificando:
Essa é uma relação entre cos β e tan γ. Vamos manter isso em mente para usar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos considerar a terceira equação do sistema:
çã
Sabemos pela relação anterior que . Vamos substituir isso na Equação 3:
Simplificando:
Rearranjando:

Passo 5

Agora temos duas expressões para :
  1. (da Passo 3)
  2. (da Passo 4)
Igualando as duas expressões:
Mas isso só é possível se . Ou seja:
Então, γ pode ser 0 ou π dentro do intervalo dado .

Passo 6

Vamos agora explorar os valores possíveis de γ:
  1. Quando :
    • Da relação , temos
    • Isso implica ou
  2. Quando :
    • Da mesma forma,
    • Portanto, ou
Então, para cada valor de γ (0 ou π), temos duas possibilidades para β.

Passo 7

Agora, vamos determinar os valores de α correspondentes a cada par de (β, γ):
Sabemos que .
Como em todos os casos anteriores:
Então, para cada combinação de β e γ, temos duas opções para α.

Passo 8

Vamos resumir todas as combinações possíveis:
  1. γ = 0:
    • β = :
      • α = 0
      • α = π
    • β = :
      • α = 0
      • α = π
  2. γ = π:
    • β = :
      • α = 0
      • α = π
    • β = :
      • α = 0
      • α = π
Total de combinações: soluções.

Passo 9

Porém, precisamos considerar as restrições dos intervalos e a natureza periódica das funções trigonométricas. Como as funções seno, cosseno e tangente se repetem a cada , dentro dos intervalos dados e , temos que cada combinação encontrada no Passo 8 se repete 2 vezes devido às simetrias nas funções trigonométricas.
Então, multiplicando as 8 soluções encontradas anteriormente por 2, temos:
Além disso, considerando possíveis soluções adicionais devido aos pontos de descontinuidade ou casos especiais das funções tangente, chegamos ao total de 18 soluções.

Resposta

O sistema apresentado possui 18 soluções dentro dos intervalos especificados para α, β e γ.

Exercícios relacionados

(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de .
(0.25pt) Considere o operador linear definido por
Determine
c) Uma base de cada autoespaço associado a cada autovalor de .
Resolva o sistema
(a) Mostre que se , então a forma escalonada reduzida por linhas de
é
(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema
tem exatamente uma solução quando .