Resolva o sistema
2 x1-x2 & =lambda x1 2 x1-x2+x3 & =lambda x2 -2 x1+2 x2+x3 & =lambda x3
para x1, x2 e x3 nos dois casos lambda=1 e lambda=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações! O enunciado pede para encontrar os valores de , e para duas situações diferentes: quando e quando . Esse tipo de problema faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas lineares e vetores. Para resolver, vamos usar a substituição e o método de eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma mais simples para cada valor de 2x1 - x2 &= 1 cdot x1 2x1 - x2 + x3 &= 1 cdot x2 -2x1 + 2x2 + x3 &= 1 cdot x3 . Vamos começar com .
As equações ficam assim:

Passo 3

Agora, simplificamos cada equação:
  1. (já que )
Isso confirma que nossas relações estão consistentes.

Passo 4

Como 2x1 + x3 = 2x1 Rightarrow x3 = 0 , substituímos na segunda equação:
Então, já sabemos que .

Passo 5

Portanto, para x1 = x2, x3 = 0 , os valores das variáveis são:
Isso significa que e podem ser quaisquer números iguais, e sempre será zero.

Passo 6

Agora vamos resolver para 2x1 - x2 &= 2x1 2x1 - x2 + x3 &= 2x2 -2x1 + 2x2 + x3 &= 2x3 .
As equações ficam:

Passo 7

Simplificando cada equação:

Passo 8

Como 2x1 + x3 = 0 Rightarrow x3 = -2x1 , substituímos na segunda equação:
-2x1 + 0 = x3 Rightarrow x3 = -2x1
E na terceira equação:
Isso confirma a relação entre e .

Passo 9

Portanto, para x2 = 0, x3 = -2x1 , os valores das variáveis são:
Aqui, pode ser qualquer número, é sempre zero, e é o dobro negativo de .

Resposta

Para x1 = x2, x3 = 0 :
x2 = 0, x3 = -2x1
Para :

Exercícios relacionados