- If
, ache (a)
;
(b)
c)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de três variáveis:
. A matéria que estamos trabalhando aqui é derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda quando alteramos uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente, e depois substituir os valores dados para encontrar as respostas finais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 0, porque
não depende de
.
Então, temos:
Agora, substituímos os valores
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então, temos:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é 0, pois não depende de
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então, temos:
Substituindo
,
e
:
Resposta
(a)
;
(b) ;
© .
(b)
©
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
23.
23.
Nos Exercícios 27 e 28, ache
e
.
28.
28.
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
21.
21.
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(f) , Resp:
(f)