Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
23. f(x, y, z) = e^(x y z) + tg^(-1)(3 x y / z^2) ; fy(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais. Isso significa que vamos derivar a função em relação a , tratando e como constantes. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da função separadamente em relação a .
  1. Derivada do primeiro termo: A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 3

Continuando a derivada do primeiro termo:
Porque e são constantes em relação a . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Onde .

Passo 5

Primeiro, encontramos :
Pois e são constantes em relação a .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia ao segundo termo:
Podemos simplificar um pouco a expressão dentro da fração.

Passo 7

Simplificando a expressão:
Então, a derivada do segundo termo fica:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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