Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(f)
, Resp:
(f)
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa desenhar os gráficos das funções
e
e encontrar a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são os gráficos dessas funções. A função
é uma parábola que abre para cima, enquanto
é a metade superior de uma parábola que abre para a direita.
Passo 3
Vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 4
Para resolver
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Passo 6
Isso nos dá as soluções:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Agora que sabemos os limites de integração, vamos calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Passo 8
Identificamos que, entre
e
, a função
está acima de
. Então, a área é:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Passo 10
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas funções
e
é
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
21.
21.
- If
, ache (a) ;
(b)c) .
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
24.
24.
- Dada
Ache (a); (b) .