Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(f) y = x^2, y = raiz(x), Resp: 1/3

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa desenhar os gráficos das funções e e encontrar a área da região que elas delimitam. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os gráficos dessas funções. A função é uma parábola que abre para cima, enquanto é a metade superior de uma parábola que abre para a direita.

Passo 3

Vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 4

Para resolver , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação:

Passo 6

Isso nos dá as soluções:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Agora que sabemos os limites de integração, vamos calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á

Passo 8

Identificamos que, entre e , a função está acima de . Então, a área é:
Á

Passo 9

Vamos resolver a integral:

Passo 10

Aplicando os limites de 0 a 1:
Á

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas funções e é .

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
21. f(x, y, z) = 4xy z + ln(2xyz) ; f3(x, y, z)
  1. If f(x, y, z) = e^(x * y^2) + ln(y + z), ache (a) f1(3, 0, 17);
    (b) f2(1,0,2) c) f3(0,0,1).
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
24. f(r, θ, φ) = 4 r^2 sen(θ) + 5 e^r cos(θ) sen(φ) - 2 cos(φ); f2(r, θ, φ)
  1. Dada f(x, y) = { (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
    Ache (a) f1(0,0); (b) f2(0,0).