Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
21. f(x, y, z) = 4xy z + ln(2xyz) ; f3(x, y, z)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar em relação a , mantendo e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável específica mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. Aqui, queremos ver como muda quando muda, com e fixos.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função separadamente em relação a .

Passo 4

Derivando o primeiro termo em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes, então a derivada de é 1, e multiplicamos pelos coeficientes .

Passo 5

Agora, vamos derivar o segundo termo em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Primeiro, identifiquemos . Então:

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :
Novamente, e são constantes, então a derivada de é 1.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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