Nos Exercícios 27 e 28, ache
e
.
28.
28.
Passo 1
Então, o que temos aqui é um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A função dada é uma integral definida:
Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra fundamental do cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma variável (digamos,
) mantém a outra variável (nesse caso,
) constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra fundamental do cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis. A regra nos diz que:
No nosso caso,
e
. E
.
Passo 4
Vamos encontrar
:
Aqui,
porque
é constante em relação a
, e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
:
Dessa vez,
porque
está variando, e
porque
é constante em relação a
.
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja
a circunferência unitária parametrizada por
, onde
. Concluir que $\int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \cos (\operatorname{sen} t) d t=2 \pi \quad \mathrm{e} \quad \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t=0 $.
- If
, ache (a) ; (b) .
Nos Exercícios de 13 a 24, ache a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
23.
23.
- If
, ache (a) ;
(b)c) .