Nos Exercícios 27 e 28, ache fx(x, y) e fy(x, y).
28. f(x, y)=integralx^y e^cos t d t

Passo 1

Então, o que temos aqui é um exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de uma função f(x, y) = integralx^y e^cos t , dt em relação a e . A função dada é uma integral definida:
Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra fundamental do cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma variável (digamos, ) mantém a outra variável (nesse caso, ) constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra fundamental do cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis. A regra nos diz que:
partialpartial x ( integrala(x)^b(x) g(t) , dt ) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, e . E .

Passo 4

Vamos encontrar fx(x, y) = e^cos y cdot 0 - e^cos x cdot 1 = -e^cos x :
Aqui, porque é constante em relação a , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar fy(x, y) = e^cos y cdot 1 - e^cos x cdot 0 = e^cos y :
Dessa vez, porque está variando, e porque é constante em relação a .

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x, y) = -e^cos x
fy(x, y) = e^cos y

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