R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse tipo de equação envolve cálculo diferencial, mais especificamente equações diferenciais exatas. Vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como encontrar uma solução para ela.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, começamos integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Integrando
:
Passo 4
Agora, para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim, temos:
Cancelando os termos iguais:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como queremos a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante
:
Podemos renomear
simplesmente para
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: