(3 x^2 + 6 x y^2) dx + (6 x^2 y + 4 y^3) dy = 0
R. x^3 + 3 x^2 y^2 + y^4 = c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse tipo de equação envolve cálculo diferencial, mais especificamente equações diferenciais exatas. Vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como encontrar uma solução para ela.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , começamos integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Integrando :

Passo 4

Agora, para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim, temos:
Cancelando os termos iguais:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como queremos a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante :
Podemos renomear simplesmente para .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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