Use propriedades de translação e derivadas de transformantes para calcular
ou
como indicado.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Vamos usar propriedades da transformada de Laplace, como completar o quadrado e as transformadas conhecidas de funções exponenciais e seno. Precisaremos manipular a expressão para encaixar em uma forma que a gente já saiba como transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Para facilitar a transformação, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de forma que fique na forma
.
Passo 3
Para completar o quadrado de
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -6, divida por 2 e eleve ao quadrado: . - Reescreva o polinômio adicionando e subtraindo esse valor:
Agora, nosso denominador está na forma
.
Passo 4
Agora, temos a expressão simplificada:
Sabemos que a transformada inversa de Laplace de
é
. No nosso caso,
e
, então podemos aplicar essa propriedade.
Passo 5
Aplicando a propriedade mencionada: