Achar a equação da curva que passa pelo ponto (5, 6), conhecendo-se a declividade de sua tangente num ponto qualquer é dy/dx = 2x/3y.
R: 3y^2 - 2x^2 = 58

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto (5, 6) e cuja declividade da tangente em qualquer ponto (x,y) dessa curva é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

A equação fornecida é uma equação diferencial que relaciona as derivadas de y em relação a x. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a integração:
Podemos reorganizar os termos para separar as variáveis y e x:

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação para encontrar a relação entre y e x:
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:

Passo 4

Igualando as integrais e simplificando as constantes ( ):
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2:
Onde é uma constante.

Passo 5

Para encontrar o valor de K, usamos o ponto pelo qual a curva passa, que é (5, 6). Substituindo e na equação:
Portanto, .

Resposta

A equação da curva é:

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