Achar a equação da curva que passa pelo ponto
, conhecendo-se a declividade de sua tangente num ponto qualquer é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar a equação de uma curva que passa pelo ponto
e cuja declividade da tangente em qualquer ponto
dessa curva é dada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
A equação fornecida é uma equação diferencial que relaciona as derivadas de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a integração:
Podemos reorganizar os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação para encontrar a relação entre
e
:
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Passo 4
Igualando as integrais e simplificando as constantes (
):
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos o ponto pelo qual a curva passa, que é
. Substituindo
e
na equação:
Portanto,
.
Resposta
A equação da curva é: