sec^2(x) * tg(y) * dx + sec^2(y) * tg(x) * dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é uma equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça essa condição. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se ela satisfaz a condição:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
Agora, calculando a derivada de em relação a :

Passo 5

Observamos que:
Como as duas derivadas parciais são iguais, nossa equação diferencial é de fato exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 6

Para encontrar a função , vamos integrar em relação a :
Como é tratado como uma constante em relação a , podemos tirar fora da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Onde é uma função de que aparece como constante na integração.

Passo 7

Agora, para encontrar , vamos diferenciar em relação a e igualar à função :
Assim, temos:
Isso implica que:

Passo 8

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante.

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