Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é uma equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça essa condição. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se ela satisfaz a condição:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Observamos que:
Como as duas derivadas parciais são iguais, nossa equação diferencial é de fato exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Para encontrar a função
, vamos integrar
em relação a
:
Como
é tratado como uma constante em relação a
, podemos tirar fora da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Onde
é uma função de
que aparece como constante na integração.
Passo 7
Agora, para encontrar
, vamos diferenciar
em relação a
e igualar à função
:
Assim, temos:
Isso implica que:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante.