Calcule a transformada de Laplace L{f(t)} :
© f(t) = { sen(t), 0 <= t < pi; 0, t >= pi }

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função , que é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas na resolução de equações diferenciais e no estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e entender como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace de uma função :
Essa integral transforma a função do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a análise e resolução de problemas.

Passo 3

No nosso caso, a função é diferente dependendo do intervalo de . Para , temos , e para , . Isso significa que a integral da transformada de Laplace vai se dividir nesses dois intervalos.

Passo 4

Assim, podemos reescrever a transformada de Laplace de como a soma das integrais nos dois intervalos:
Note que o segundo termo é zero, porque para .

Passo 5

Portanto, simplificando, temos:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Para calcular a integral , vamos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral padrão. A solução para essa integral é:
Mas para o nosso caso, vamos aplicar os limites de integração de 0 a .

Passo 7

Aplicando os limites, temos:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 8

Primeiro, substituímos :
Em seguida, substituímos :

Passo 9

Agora, subtraímos os dois resultados:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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