Calcule a transformada de Laplace
:
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Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da função
, que é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas na resolução de equações diferenciais e no estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e entender como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace de uma função
:
Essa integral transforma a função
do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a análise e resolução de problemas.
Passo 3
No nosso caso, a função
é diferente dependendo do intervalo de
. Para
, temos
, e para
,
. Isso significa que a integral da transformada de Laplace vai se dividir nesses dois intervalos.
Passo 4
Assim, podemos reescrever a transformada de Laplace de
como a soma das integrais nos dois intervalos:
Note que o segundo termo é zero, porque
para
.
Passo 5
Portanto, simplificando, temos:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Para calcular a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral padrão. A solução para essa integral é:
Mas para o nosso caso, vamos aplicar os limites de integração de 0 a
.
Passo 7
Aplicando os limites, temos:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 8
Primeiro, substituímos
:
Em seguida, substituímos
:
Passo 9
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: