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(a) Suponha que F(x, y) seja diferenciável e que a equação F(x, y) = 0 defina y como uma função diferenciável de x. Mostre que em qualquer ponto onde Fy != 0, temos
d y/d x = -F_x/F_y

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função que é diferenciável, ou seja, podemos calcular suas derivadas parciais. A equação define como uma função diferenciável de . Queremos mostrar que, em qualquer ponto onde a derivada parcial de em relação a ( ) não é zero, a derivada de em relação a ( ) é igual a .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando temos uma relação entre e definida de forma implícita por uma equação como .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação . Como é uma função de , podemos pensar em como . Isso significa que podemos reescrever a equação como .
Nosso objetivo é encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na derivação de em rela��ão a , temos:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a e é a derivada parcial de em relação a . Note que .
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por (que não é zero, conforme o enunciado), obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que a derivada de em relação a é dada por

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