8
(a) Suponha que
seja diferenciável e que a equação
defina
como uma função diferenciável de
. Mostre que em qualquer ponto onde
, temos
(a) Suponha que
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função
que é diferenciável, ou seja, podemos calcular suas derivadas parciais. A equação
define
como uma função diferenciável de
. Queremos mostrar que, em qualquer ponto onde a derivada parcial de
em relação a
(
) não é zero, a derivada de
em relação a
(
) é igual a
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando temos uma relação entre
e
definida de forma implícita por uma equação como
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação
. Como
é uma função de
, podemos pensar em
como
. Isso significa que podemos reescrever a equação como
.
Nosso objetivo é encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na derivação de
em rela��ão a
, temos:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
. Note que
.
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero, conforme o enunciado), obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que a derivada de
em relação a
é dada por
Exercícios relacionados
31
Calcule a área da região delimitada por e
.
Calcule a área da região delimitada por
26
Calcule
Calcule
onde
é o elipse
.
9
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação determinar
como uma
função diferenciável de e
, então, em pontos onde
, temos
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação
função diferenciável de
Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
(b) ;
(b)