Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Isso está na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
. Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
. Calculando isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, a integral é simplesmente
. No lado direito, precisamos integrar
.
Passo 6
Para integrar
, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Multiplicando por 2:
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: