1. d y/d x = 2 x - 3 y, y(0) = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Isso está na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão: . Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por . Calculando isso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
No lado esquerdo, a integral é simplesmente . No lado direito, precisamos integrar .

Passo 6

Para integrar , usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Multiplicando por 2:

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Verifique a paridade das seguintes funções:
k f(x) = sen(x^2)
Verifique a paridade das seguintes funções:
g(x) = x / (x^2 - 1)

Discussion Problems

  1. Reread the discussion following Example 2. Construct a linear first-order differential equation for which all nonconstant solutions approach the horizontal asymptote y = 4 as x -> infinito.
  1. Radioactive Decay Series The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
d/dt x = -lambda1 x d/dt y = lambda1 x - lambda2 y
where lambda_1 and lambda_2 are constants. Discuss how to solve this system subject to x(0) = x0, y(0) = y0. Carry out your ideas.