Discussion Problems

  1. Reread the discussion following Example 2. Construct a linear first-order differential equation for which all nonconstant solutions approach the horizontal asymptote y = 4 as x -> infinito.

Passo 1

Então, a gente precisa entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma equação diferencial linear de primeira ordem onde todas as soluções não constantes se aproximam de uma assíntota horizontal quando vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e comportamento assintótico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde e são funções de .

Passo 3

Queremos que as soluções se aproximem de quando . Isso significa que, no limite, a derivada deve ser zero porque a função está se estabilizando.

Passo 4

Então, substituindo e na equação geral, temos:
Logo,

Passo 5

Para simplificar, vamos assumir que é uma constante, digamos . Assim, a equação fica:

Passo 6

Essa é a equação diferencial que queremos. Vamos verificar se as soluções se comportam como desejado. A solução geral dessa equação é:
Onde é uma constante.

Passo 7

Quando tende ao infinito, o termo vai para zero, já que diminui exponencialmente. Portanto, se aproxima de 4, que é exatamente o que a questão pede.

Resposta

Uma equação diferencial que satisfaz as condições é:

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