Discussion Problems
- Reread the discussion following Example 2. Construct a linear first-order differential equation for which all nonconstant solutions approach the horizontal asymptote
as
.
Passo 1
Então, a gente precisa entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma equação diferencial linear de primeira ordem onde todas as soluções não constantes se aproximam de uma assíntota horizontal
quando
vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e comportamento assintótico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde
e
são funções de
.
Passo 3
Queremos que as soluções se aproximem de
quando
. Isso significa que, no limite, a derivada
deve ser zero porque a função está se estabilizando.
Passo 4
Então, substituindo
e
na equação geral, temos:
Logo,
Passo 5
Para simplificar, vamos assumir que
é uma constante, digamos
. Assim, a equação fica:
Passo 6
Essa é a equação diferencial que queremos. Vamos verificar se as soluções se comportam como desejado. A solução geral dessa equação é:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Quando
tende ao infinito, o termo
vai para zero, já que
diminui exponencialmente. Portanto,
se aproxima de 4, que é exatamente o que a questão pede.
Resposta
Uma equação diferencial que satisfaz as condições é:
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Verifique a paridade das seguintes funções:
- Radioactive Decay Series The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
where
and
are constants. Discuss how to solve this system subject to
. Carry out your ideas.
Encontre o domínio de existência das seguintes funções: