1. Radioactive Decay Series The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
d/dt x = -lambda1 x d/dt y = lambda1 x - lambda2 y
where lambda_1 and lambda_2 are constants. Discuss how to solve this system subject to x(0) = x0, y(0) = y0. Carry out your ideas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que modela o decaimento radioativo de dois elementos, e . Temos duas equações que descrevem como e mudam ao longo do tempo, e queremos resolver esse sistema considerando as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira equação do sistema:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A gente pode resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Portanto, a solução para é:

Passo 3

Agora que temos , vamos resolver a segunda equação do sistema:
Substituímos na equação:
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de , que é . O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Vamos integrar o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:
Aplicamos a condição inicial :
Substituindo na expressão de :

Resposta

As soluções do sistema são:

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