- Radioactive Decay Series The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
where
and
are constants. Discuss how to solve this system subject to
. Carry out your ideas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que modela o decaimento radioativo de dois elementos,
e
. Temos duas equações que descrevem como
e
mudam ao longo do tempo, e queremos resolver esse sistema considerando as condições iniciais
e
. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira equação do sistema:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A gente pode resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a solução para
é:
Passo 3
Agora que temos
, vamos resolver a segunda equação do sistema:
Substituímos
na equação:
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é
. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Vamos integrar o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Aplicamos a condição inicial
:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
As soluções do sistema são: