1. integral d x1-sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de integração, especificamente usando técnicas de manipulação de expressões trigonométricas para simplificar a integral. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e métodos de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador integral dx1 - sin x times 1 + sin x1 + sin x = integral 1 + sin x(1 - sin x)(1 + sin x) , dx . Integrar uma fração com uma expressão trigonométrica no denominador pode ser complicado, mas a gente pode simplificar multiplicando o numerador e o denominador por . Isso ajuda a remover o seno do denominador.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que integral 1 + sin xcos^2 x , dx . E a gente lembra da identidade trigonométrica , então .

Passo 4

Vamos separar a fração:
integral 1cos^2 x , dx + integral sin xcos^2 x , dx
Agora, reconhecemos que é igual a , e é igual a .

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral tan x sec x , dx = integral du = u + C = sec x + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 6

Juntando tudo:
integral dx1 - sin x = tan x + sec x + C

Resposta

integral dx1 - sin x = tan x + sec x + C

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