Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de integração, especificamente usando técnicas de manipulação de expressões trigonométricas para simplificar a integral. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e métodos de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Integrar uma fração com uma expressão trigonométrica no denominador pode ser complicado, mas a gente pode simplificar multiplicando o numerador e o denominador por . Isso ajuda a remover o seno do denominador.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que . E a gente lembra da identidade trigonométrica , então .

Passo 4

Vamos separar a fração:
Agora, reconhecemos que é igual a , e é igual a .

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 6

Juntando tudo:

Resposta

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Sejam e , ambos positivos em um corpo ordenado , com . Prove que .
Seja um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade do zero) Se é tal que , então .
Prove que, em um corpo ordenado , dados , tais que , vale que
Seja . Mastre que e que .