Seja . Mastre que e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto . Nosso objetivo aqui é mostrar que o supremo de é igual a 1 e o ínfimo é igual a . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de limites e propriedades de conjuntos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa supremo e ínfimo. O supremo (ou limite superior) de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo (ou limite inferior) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Note que, à medida que e aumentam, o valor de se aproxima de 1, mas nunca chega a ultrapassar esse valor. Isso sugere que o supremo de é 1.

Passo 4

Agora, para encontrar o ínfimo, queremos o menor valor possível que pode assumir. Vamos considerar os menores valores de e em , que são 1. Se e , então:
Esse é o menor valor que essa expressão pode assumir quando e são naturais.

Passo 5

Para garantir que , observamos que para qualquer , sempre podemos encontrar e tais que . Isso confirma que 1 é o menor limite superior.

Passo 6

Da mesma forma, para confirmar que , vemos que não existe nenhum valor menor que que seja um limite inferior para todos os elementos de . O valor é atingido quando e nenhum valor na expressão pode ser menor que isso.

Resposta

Portanto, mostramos que e .

Exercícios relacionados

Prove que, em um corpo ordenado , dados , tais que , vale que
Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que não é racional.