Seja
. Mastre que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o supremo de
é igual a 1 e o ínfimo é igual a
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de limites e propriedades de conjuntos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa supremo e ínfimo. O supremo (ou limite superior) de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo (ou limite inferior) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Passo 3
Vamos analisar a expressão
. Note que, à medida que
e
aumentam, o valor de
se aproxima de 1, mas nunca chega a ultrapassar esse valor. Isso sugere que o supremo de
é 1.
Passo 4
Agora, para encontrar o ínfimo, queremos o menor valor possível que
pode assumir. Vamos considerar os menores valores de
e
em
, que são 1. Se
e
, então:
Esse é o menor valor que essa expressão pode assumir quando
e
são naturais.
Passo 5
Para garantir que
, observamos que para qualquer
, sempre podemos encontrar
e
tais que
. Isso confirma que 1 é o menor limite superior.
Passo 6
Da mesma forma, para confirmar que
, vemos que não existe nenhum valor menor que
que seja um limite inferior para todos os elementos de
. O valor
é atingido quando
e nenhum valor na expressão pode ser menor que isso.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
.
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Prove que, em um corpo ordenado
, dados
, tais que
, vale que
Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que não é racional.
Prove que