Sejam
e
, ambos positivos em um corpo ordenado
, com
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois números positivos,
e
, em um corpo ordenado
, onde
. Nosso objetivo é provar que o inverso de
é menor que o inverso de
, ou seja,
.
Para resolver isso, precisamos entender como funciona a relação de ordem em corpos ordenados e como os inversos se comportam nessa estrutura. Vamos precisar usar propriedades das desigualdades e dos inversos de números positivos.
Passo 2
Primeiro, já que
e
são positivos e
, sabemos que ambos são diferentes de zero. Isso é importante porque só podemos calcular o inverso de números que não são zero.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade
pelo inverso de
, que é
. Como
é positivo,
também é positivo, então a desigualdade se mantém na mesma direção:
Passo 4
Simplificando o lado direito da desigualdade, temos:
Isso porque
.
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da desigualdade por
, que também é positivo, mantendo a direção da desigualdade:
E como
é exatamente
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que
quando
e
são positivos e
em um corpo ordenado
.