Sejam x e y, ambos positivos em um corpo ordenado K, com x < y. Prove que y^(-1) < x^(-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois números positivos, e , em um corpo ordenado , onde . Nosso objetivo é provar que o inverso de é menor que o inverso de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos entender como funciona a relação de ordem em corpos ordenados e como os inversos se comportam nessa estrutura. Vamos precisar usar propriedades das desigualdades e dos inversos de números positivos.

Passo 2

Primeiro, já que e são positivos e , sabemos que ambos são diferentes de zero. Isso é importante porque só podemos calcular o inverso de números que não são zero.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade pelo inverso de , que é . Como é positivo, também é positivo, então a desigualdade se mantém na mesma direção:

Passo 4

Simplificando o lado direito da desigualdade, temos:
Isso porque .

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da desigualdade por , que também é positivo, mantendo a direção da desigualdade:
E como é exatamente , temos:

Resposta

Portanto, provamos que quando e são positivos e em um corpo ordenado .

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