Prove que, em um corpo ordenado
, dados
, tais que
, vale que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, em um corpo ordenado
, se temos três números
, então para qualquer número
, a soma das distâncias de
até cada um desses números é pelo menos
. Vamos ver isso usando conceitos de álgebra e propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a soma das distâncias de
até cada um dos três números:
Nosso objetivo é mostrar que essa função
nunca é menor que
, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Para entender isso, vamos pensar em como a função
se comporta. A soma dos valores absolutos
representa a distância de
até cada ponto
. A soma dessas distâncias atinge seu mínimo quando
está na posição que minimiza essa soma.
Existe um conceito na matemática que diz que a soma das distâncias absolutas é minimizada na mediana dos pontos. No nosso caso, como temos três números ordenados
, a mediana é
. Então, o mínimo de
ocorre quando
.
Passo 4
Vamos calcular esse mínimo:
Simplificando:
Então, o menor valor que
pode ter é exatamente
.
Passo 5
Como o mínimo de
é
, isso significa que para qualquer valor de
, a soma das distâncias
não pode ser menor que
.
Resposta
Portanto, sempre vale que
Exercícios relacionados
Sejam
e
, ambos positivos em um corpo ordenado
, com
. Prove que
.
Seja
. Mastre que
e que
.