Prove que, em um corpo ordenado K, dados a1, a2, a3 em K, tais que a1 < a2 < a3, vale que
|x - a1| + |x - a2| + |x - a3| ≥ a3 - a1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, em um corpo ordenado K, se temos três números , então para qualquer número x, a soma das distâncias de x até cada um desses números é pelo menos . Vamos ver isso usando conceitos de álgebra e propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a soma das distâncias de x até cada um dos três números:
Nosso objetivo é mostrar que essa função f(x) nunca é menor que , ou seja, para todo x.

Passo 3

Para entender isso, vamos pensar em como a função f(x) se comporta. A soma dos valores absolutos representa a distância de x até cada ponto . A soma dessas distâncias atinge seu mínimo quando x está na posição que minimiza essa soma.
Existe um conceito na matemática que diz que a soma das distâncias absolutas é minimizada na mediana dos pontos. No nosso caso, como temos três números ordenados , a mediana é a_2. Então, o mínimo de f(x) ocorre quando .

Passo 4

Vamos calcular esse mínimo:
Simplificando:
Então, o menor valor que f(x) pode ter é exatamente .

Passo 5

Como o mínimo de f(x) é , isso significa que para qualquer valor de x, a soma das distâncias não pode ser menor que .

Resposta

Portanto, sempre vale que

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