Prove que, em um corpo ordenado , dados , tais que , vale que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, em um corpo ordenado , se temos três números , então para qualquer número , a soma das distâncias de até cada um desses números é pelo menos . Vamos ver isso usando conceitos de álgebra e propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a soma das distâncias de até cada um dos três números:
Nosso objetivo é mostrar que essa função nunca é menor que , ou seja, para todo .

Passo 3

Para entender isso, vamos pensar em como a função se comporta. A soma dos valores absolutos representa a distância de até cada ponto . A soma dessas distâncias atinge seu mínimo quando está na posição que minimiza essa soma.
Existe um conceito na matemática que diz que a soma das distâncias absolutas é minimizada na mediana dos pontos. No nosso caso, como temos três números ordenados , a mediana é . Então, o mínimo de ocorre quando .

Passo 4

Vamos calcular esse mínimo:
Simplificando:
Então, o menor valor que pode ter é exatamente .

Passo 5

Como o mínimo de é , isso significa que para qualquer valor de , a soma das distâncias não pode ser menor que .

Resposta

Portanto, sempre vale que

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Seja . Mastre que e que .