Seja
um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade do zero) Se
é tal que
, então
.
(Unicidade do zero) Se
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de álgebra que fala sobre corpos (ou campos) matemáticos. O enunciado pede para provar que o zero em um corpo é único. Ou seja, se existir outro elemento que age como zero, então esse elemento tem que ser igual ao zero padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo e o que significa o elemento zero dentro dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo, ou campo, é uma estrutura algébrica onde podemos fazer operações de adição e multiplicação, e essas operações têm algumas propriedades, como ter um elemento neutro para a adição (o zero) e para a multiplicação (o um). Além disso, todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.
Passo 3
Agora, o exercício fala sobre o elemento zero. No contexto de um corpo, o zero é o que a gente adiciona a qualquer elemento e não muda esse elemento. Formalmente, para todo
no corpo
, temos
.
Passo 4
O que o exercício quer dizer é que se existe outro elemento
no corpo que também satisfaz a propriedade
para todo
em
, então esse
tem que ser igual ao zero padrão
. Vamos provar isso.
Passo 5
Para provar, basta considerar a propriedade de que
atua como zero:
- Pegamos
e aplicamos a propriedade com o próprio : - Mas também sabemos que
é o zero do corpo, então: - Como
é o zero, podemos usar a propriedade com : - Agora, percebemos que
deve ser igual a , já que ambos satisfazem a mesma propriedade de elemento neutro.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Sejam
e
, ambos positivos em um corpo ordenado
, com
. Prove que
.