Seja um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade do zero) Se é tal que , então .

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de álgebra que fala sobre corpos (ou campos) matemáticos. O enunciado pede para provar que o zero em um corpo é único. Ou seja, se existir outro elemento que age como zero, então esse elemento tem que ser igual ao zero padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo e o que significa o elemento zero dentro dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo, ou campo, é uma estrutura algébrica onde podemos fazer operações de adição e multiplicação, e essas operações têm algumas propriedades, como ter um elemento neutro para a adição (o zero) e para a multiplicação (o um). Além disso, todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.

Passo 3

Agora, o exercício fala sobre o elemento zero. No contexto de um corpo, o zero é o que a gente adiciona a qualquer elemento e não muda esse elemento. Formalmente, para todo no corpo , temos .

Passo 4

O que o exercício quer dizer é que se existe outro elemento no corpo que também satisfaz a propriedade para todo em , então esse tem que ser igual ao zero padrão . Vamos provar isso.

Passo 5

Para provar, basta considerar a propriedade de que atua como zero:
  1. Pegamos e aplicamos a propriedade com o próprio :
  2. Mas também sabemos que é o zero do corpo, então:
  3. Como é o zero, podemos usar a propriedade com :
  4. Agora, percebemos que deve ser igual a , já que ambos satisfazem a mesma propriedade de elemento neutro.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Sejam e , ambos positivos em um corpo ordenado , com . Prove que .