Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma integral dupla:
O conteúdo envolvido aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar funções em duas variáveis e como os limites de integração se comportam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
. Então, podemos fatorar isso para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 4
Voltando à integral original, substituímos o resultado da integral interna:
Passo 5
Agora, temos que integrar
em relação a
. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Multiplicando pelo 2 que estava na frente:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear.
.
2a
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
2a
Verifique que cada função dada,