integral0^pi / 2 integral0^2 cos theta phi cos theta d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma integral dupla:
integral0^pi / 2 integral0^2 cos theta phi cos theta , dphi , dtheta
O conteúdo envolvido aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar funções em duas variáveis e como os limites de integração se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^2 cos theta phi cos theta , dphi :
cos theta integral0^2 cos theta phi , dphi
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . Então, podemos fatorar isso para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral phi , dphi = phi^22 em relação a (2 cos theta)^22 - 0^22 = 4 cos^2 theta2 = 2 cos^2 theta :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 4

Voltando à integral original, substituímos o resultado da integral interna:
integral0^pi / 2 cos theta cdot 2 cos^2 theta , dtheta = 2 integral0^pi / 2 cos^3 theta , dtheta

Passo 5

Agora, temos que integrar cos^3 theta = cos theta (1 - sin^2 theta) em relação a 2 integral0^pi / 2 cos theta (1 - sin^2 theta) , dtheta . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja 2 integral0^1 (1 - u^2) , du , então . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral (1 - u^2) , du = u - u^33 :
(1 - 13) - (0 - 0) = 23
Aplicando os limites de 0 a 1:
2 cdot 23 = 43
Multiplicando pelo 2 que estava na frente:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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