Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma integral dupla:
O conteúdo envolvido aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar funções em duas variáveis e como os limites de integração se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . Então, podemos fatorar isso para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 4

Voltando à integral original, substituímos o resultado da integral interna:

Passo 5

Agora, temos que integrar em relação a . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja , então . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de 0 a 1:
Multiplicando pelo 2 que estava na frente:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear. .
2a
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada. ;