Encontre F(s) ou f(s) como indicado: L^-1{s/((s+1)^{2})}

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos o inverso da Transformada de Laplace dessa expressão: L^-1{s/((s+1)^{2})}. Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas da Transformada de Laplace e como aplicá-las para encontrar a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que temos: . Queremos simplificar isso para algo que possamos identificar facilmente na tabela de Transformadas de Laplace. Uma técnica útil aqui é dividir a fração de uma forma que facilite a identificação das transformadas inversas conhecidas.

Passo 3

Vamos reescrever a fração de uma forma mais conveniente. Observamos que , então podemos substituir s na expressão:

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo separadamente:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Essas são duas transformadas inversas padrão que encontramos nas tabelas de Transformada de Laplace.

Passo 6

Agora, juntamos os resultados:
Podemos fatorar o termo e^(-t) para simplificar ainda mais:

Resposta

A Transformada de Laplace inversa é .

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