Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso envolve cálculo de limites e vamos usar um pouco de logaritmos e aproximações de funções trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. A raiz de índice
de
pode ser escrita como
. Então, nosso limite fica:
Passo 3
Para calcular o limite de uma função exponencial como essa, é útil usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende a 0:
Vamos focar no segundo termo
.
Passo 5
Para resolver
, usamos a aproximação da função cosseno para valores pequenos de
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
E, para valores pequenos,
. Então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação de volta no limite:
Passo 7
Agora, voltando ao limite de
:
Para encontrar
, aplicamos a função exponencial aos dois lados:
Resposta
O limite é
.
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no ponto
em cada caso.
e