27 lim x 0 raiz[x^2]cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve cálculo de limites e vamos usar um pouco de logaritmos e aproximações de funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. A raiz de índice 27 times cos(x)^1/x^2 de pode ser escrita como . Então, nosso limite fica:

Passo 3

Para calcular o limite de uma função exponencial como essa, é útil usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de L = 27 times cos(x)^1/x^2 :
ln(L) = ln(27 times cos(x)^1/x^2)
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = ln(27) + 1x^2 ln(cos(x))
Como , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite de limx to 0 ln(L) = ln(27) + limx to 0 ln(cos(x))x^2 quando tende a 0:
Vamos focar no segundo termo .

Passo 5

Para resolver cos(x) approx 1 - x^22 , usamos a aproximação da função cosseno para valores pequenos de ln(cos(x)) approx ln(1 - x^22) :
ln(1 - x^22) approx -x^22
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
E, para valores pequenos, . Então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação de volta no limite:
limx to 0 ln(cos(x))x^2 approx limx to 0 -x^22x^2 = -12

Passo 7

Agora, voltando ao limite de limx to 0 ln(L) = ln(27) + (-12) = ln(27) - 12 :
L = e^ln(27) - 12 = 27 times e^-12
Para encontrar , aplicamos a função exponencial aos dois lados:

Resposta

O limite é .

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