Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve cálculo de limites e vamos usar um pouco de logaritmos e aproximações de funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. A raiz de índice de pode ser escrita como . Então, nosso limite fica:

Passo 3

Para calcular o limite de uma função exponencial como essa, é útil usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de :
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Como , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite de quando tende a 0:
Vamos focar no segundo termo .

Passo 5

Para resolver , usamos a aproximação da função cosseno para valores pequenos de :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
E, para valores pequenos, . Então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação de volta no limite:

Passo 7

Agora, voltando ao limite de :
Para encontrar , aplicamos a função exponencial aos dois lados:

Resposta

O limite é .

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