Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e o ponto
. O exercício pede para encontrar o coeficiente angular
da reta tangente à curva dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a derivada de
em
. Então, substituímos
por 1 na definição:
Passo 4
Vamos calcular
primeiro:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na definição da derivada:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Agora, ao fazer o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
é
.
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