Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, m(x1) da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P em cada caso.
f(x) = 3 x^2 - 12 x + 8 e P(1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o ponto . O exercício pede para encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva dessa função no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a derivada de em . Então, substituímos por 1 na definição:

Passo 4

Vamos calcular primeiro:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Vamos expandir o termo :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na definição da derivada:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por :

Passo 8

Agora, ao fazer o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto é .

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