Calcule as integrais abaixo.
integral cos ^3 2 x sen^3 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o uso de identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrar funções que são potências de seno e cosseno. Vou precisar usar a identidade e escolher uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Podemos separar uma potência de seno ou cosseno para usar na substituição. Vou separar uma integral cos^3(2x) sin^2(2x) sin(2x) , dx e escrever a integral da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica integral cos^3(2x) (1 - cos^2(2x)) sin(2x) , dx para substituir :

Passo 4

Fazemos a substituição dudx = -2 sin(2x) Rightarrow sin(2x) , dx = -du2 . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo integral u^3 (1 - u^2) (-du2) = -12 integral (u^3 - u^5) , du e na integral, temos:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
-12 ( u^44 - u^66 ) + C = -18 u^4 + 112 u^6 + C

Passo 7

Substituímos -18 cos^4(2x) + 112 cos^6(2x) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral -18 cos^4(2x) + 112 cos^6(2x) + C é igual a:

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