Se a placa tiver de comprimento (dimensão ) e de largura (dimensão ), calcule a temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com: a) 9 pontos na discretização b) pontos na discretização c) Calcule a temperatura média resolvendo analiticamente a integral e compare os resultados. Obs: assuma que a origem do sistema de coordenadas coincide com o vértice inferior esquerdo da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura média de uma placa retangular usando tanto integrais numéricas quanto uma solução analítica. A placa tem 8 metros de comprimento (dimensão ) e 6 metros de largura (dimensão ). A temperatura em cada ponto da placa é dada pela função: Vamos precisar usar conceitos de integrais duplas para encontrar a temperatura média. Além disso, vamos aplicar métodos de integração numérica com diferentes discretizações para estimar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é temperatura média. A temperatura média de uma placa é calculada pela fórmula: Onde é a área total da placa. No nosso caso, ².

Passo 3

Agora, vamos para a parte **a)** do exercício, que pede para calcular a temperatura média usando integrais numéricas com **9 pontos** na discretização. Isso significa que vamos dividir a placa em uma grade de 3 linhas e 3 colunas, totalizando 9 pontos.

Passo 4

Para a discretização de 9 pontos, cada ponto estará localizado no centro de cada subárea da placa. Então, cada subárea terá dimensões: A área de cada subárea é: ²

Passo 5

Agora, vamos identificar as coordenadas dos 9 pontos centrais. Eles estão localizados em: - -

Passo 6

Vamos calcular a temperatura em cada um desses pontos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas temperaturas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Passo 8

Agora, somamos todas essas temperaturas e multiplicamos pela área de cada ponto para obter a soma total das temperaturas na placa: Multiplicando pela área de cada ponto:

Passo 9

Para encontrar a temperatura média, dividimos a temperatura total pela área total da placa:

Resposta

A temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com 9 pontos na discretização, é aproximadamente **64.35°C**.

Exercícios relacionados

| | -1 | 0 | 1 | | :--- | ---: | ---: | ---: | | | 2 | 1 | 3 | Dado um novo ponto , ajuste um novo polinômio interpolador de Lagrange. O que aconteceu? O que podemos dizer a respeito do grau de um polinômio interpolador?