Se a placa tiver de comprimento (dimensão ) e de largura (dimensão ), calcule a temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com:
a) 9 pontos na discretização
b) pontos na discretização
c) Calcule a temperatura média resolvendo analiticamente a integral e compare os resultados.
Obs: assuma que a origem do sistema de coordenadas coincide com o vértice inferior esquerdo da placa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura média de uma placa retangular usando tanto integrais numéricas quanto uma solução analítica. A placa tem 8 metros de comprimento (dimensão ) e 6 metros de largura (dimensão ). A temperatura em cada ponto da placa é dada pela função:
Vamos precisar usar conceitos de integrais duplas para encontrar a temperatura média. Além disso, vamos aplicar métodos de integração numérica com diferentes discretizações para estimar esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é temperatura média. A temperatura média de uma placa é calculada pela fórmula:
Onde é a área total da placa. No nosso caso, ².
Passo 3
Agora, vamos para a parte **a)** do exercício, que pede para calcular a temperatura média usando integrais numéricas com **9 pontos** na discretização. Isso significa que vamos dividir a placa em uma grade de 3 linhas e 3 colunas, totalizando 9 pontos.
Passo 4
Para a discretização de 9 pontos, cada ponto estará localizado no centro de cada subárea da placa. Então, cada subárea terá dimensões:
A área de cada subárea é:
²
Passo 5
Agora, vamos identificar as coordenadas dos 9 pontos centrais. Eles estão localizados em:
-
-
Passo 6
Vamos calcular a temperatura em cada um desses pontos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas temperaturas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Passo 8
Agora, somamos todas essas temperaturas e multiplicamos pela área de cada ponto para obter a soma total das temperaturas na placa:
Multiplicando pela área de cada ponto:
Passo 9
Para encontrar a temperatura média, dividimos a temperatura total pela área total da placa:
Resposta
A temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com 9 pontos na discretização, é aproximadamente **64.35°C**.