lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2raiz[4]x-raiz[4]2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem raízes cúbicas e raízes quárticas. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada, já que na forma atual o limite dá uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que quando raiz[3]2 - raiz[3]2 = 0 e raiz[4]2 - raiz[4]2 = 0 se aproxima de 2, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero:
Isso nos dá uma indeterminação , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para calcular o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador f'(x) = ddx x^1/3 = 13 x^-2/3 = 13 x^2/3 :
g'(x) = ddx x^1/4 = 14 x^-3/4 = 14 x^3/4
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 2 raiz[3]x - raiz[3]2raiz[4]x - raiz[4]2 = limx 2 f'(x)g'(x) = limx 2 13 x^2/314 x^3/4

Passo 6

Simplificando a expressão:
13 x^2/314 x^3/4 = 4 x^3/43 x^2/3 = 43 x^3/4 - 2/3
Calculando o expoente:
3/4 - 2/3 = 9 - 812 = 112
Então, a expressão ficou:
43 x^1/12

Passo 7

Agora, substituímos 43 cdot 2^1/12 na expressão:
Isso nos dá o valor final do limite.

Resposta

Portanto, o limite é:
43 cdot 2^112

Exercícios relacionados