Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve raízes e funções de crescimento diferente. O problema pede para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender como as diferentes potências de
se comportam à medida que
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. À medida que
fica muito grande, o termo
vai dominar o
, então podemos aproximar
.
Passo 3
Agora, simplificando
, temos:
Então, o denominador fica aproximadamente
para valores muito grandes de
.
Passo 4
Vamos olhar para o numerador
. Entre esses termos,
(que é
) cresce mais rápido do que
(
) e
(
) quando
aumenta. Isso significa que, para
bem grande,
vai dominar os outros termos.
Passo 5
Com isso, podemos aproximar o numerador por apenas
quando
tende ao infinito. Então, a expressão original fica:
Passo 6
Simplificando
, vemos que
cancela, ficando:
Resposta
O limite é
.