Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve raízes e funções de crescimento diferente. O problema pede para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender como as diferentes potências de
se comportam à medida que
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. À medida que
fica muito grande, o termo
vai dominar o
, então podemos aproximar
.
Passo 3
Agora, simplificando
, temos:
Então, o denominador fica aproximadamente
para valores muito grandes de
.
Passo 4
Vamos olhar para o numerador
. Entre esses termos,
(que é
) cresce mais rápido do que
(
) e
(
) quando
aumenta. Isso significa que, para
bem grande,
vai dominar os outros termos.
Passo 5
Com isso, podemos aproximar o numerador por apenas
quando
tende ao infinito. Então, a expressão original fica:
Passo 6
Simplificando
, vemos que
cancela, ficando:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se a placa tiver
de comprimento (dimensão
) e
de largura (dimensão
), calcule a temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com:
a) 9 pontos na discretização
b) pontos na discretização
c) Calcule a temperatura média resolvendo analiticamente a integral e compare os resultados.
Obs: assuma que a origem do sistema de coordenadas coincide com o vértice inferior esquerdo da placa.
a) 9 pontos na discretização
b)
c) Calcule a temperatura média resolvendo analiticamente a integral e compare os resultados.
Obs: assuma que a origem do sistema de coordenadas coincide com o vértice inferior esquerdo da placa.
Determine o volume do sólido limitado por
e
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial: