Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear. .
2a
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada. ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no primeiro problema que você enviou. A questão pede para determinar a ordem da equação diferencial dada e decidir se ela é linear ou não-linear. A equação é:
Para resolver isso, vamos lembrar que a ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente nela. Além disso, uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita como uma combinação linear das funções e suas derivadas, sem produtos ou funções não-lineares das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. Olhando para a equação:
A derivada de maior ordem aqui é a terceira derivada . Portanto, a ordem da equação é 3.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não-linear. Para isso, observamos os termos envolvendo a função e suas derivadas:
Cada termo que envolve ou suas derivadas está multiplicado por uma função de (que é uma função conhecido e não depende de ). Não há produtos entre e suas derivadas, nem funções não-lineares de . Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Vamos agora para o segundo problema, parte 2a. Aqui, precisamos verificar se as funções dadas e são soluções da equação diferencial:
Para isso, vamos substituir cada função na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar para .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém, é uma solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos verificar para .
Lembrando que a hiperbólica cosseno é definida por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém, então também é uma solução da equação diferencial.

Resposta

As funções e são soluções válidas da equação diferencial .

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