Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear.
.
2a
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
2a
Verifique que cada função dada,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no primeiro problema que você enviou. A questão pede para determinar a ordem da equação diferencial dada e decidir se ela é linear ou não-linear. A equação é:
Para resolver isso, vamos lembrar que a ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente nela. Além disso, uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita como uma combinação linear das funções e suas derivadas, sem produtos ou funções não-lineares das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. Olhando para a equação:
A derivada de maior ordem aqui é a terceira derivada
. Portanto, a ordem da equação é 3.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não-linear. Para isso, observamos os termos envolvendo a função
e suas derivadas:
Cada termo que envolve
ou suas derivadas está multiplicado por uma função de
(que é uma função conhecido e não depende de
). Não há produtos entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Vamos agora para o segundo problema, parte 2a. Aqui, precisamos verificar se as funções dadas
e
são soluções da equação diferencial:
Para isso, vamos substituir cada função na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar para
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém,
é uma solução da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos verificar para
.
Lembrando que a hiperbólica cosseno é definida por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém, então
também é uma solução da equação diferencial.
Resposta
As funções
e
são soluções válidas da equação diferencial
.
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