Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: calcular o limite quando
se aproxima de 0 da raiz de ordem
da função cosseno hiperbólico de
, ou seja:
Vamos precisar entender conceitos de limites, funções hiperbólicas e propriedades de potências e radicais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da raiz como uma potência. Sabemos que:
Então, podemos reescrever o limite assim:
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a potência em um produto, que é mais fácil de lidar. Então, temos:
Passo 4
Vamos lembrar que para
próximo de 0, a função cosseno hiperbólico pode ser aproximada pela série de Taylor:
Como
está se aproximando de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na expressão do logaritmo:
Para
pequeno, sabemos que
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta no limite de
:
Passo 7
Agora, voltamos do logaritmo para encontrar
: