28 lim x 0 raiz[x^2]cosh (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: calcular o limite quando limx to 0 raiz[x^2]cosh (x) se aproxima de 0 da raiz de ordem da função cosseno hiperbólico de , ou seja:
Vamos precisar entender conceitos de limites, funções hiperbólicas e propriedades de potências e radicais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da raiz como uma potência. Sabemos que:
raiz[a]b = b^1/a
Então, podemos reescrever o limite assim:
limx to 0 ( cosh(x) )^1/x^2

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a potência em um produto, que é mais fácil de lidar. Então, temos:
L = limx to 0 ( cosh(x) )^1/x^2 implies ln(L) = limx to 0 ln(cosh(x))x^2

Passo 4

Vamos lembrar que para cosh(x) = 1 + x^22 + x^424 + dots próximo de 0, a função cosseno hiperbólico pode ser aproximada pela série de Taylor:
cosh(x) approx 1 + x^22
Como está se aproximando de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do logaritmo:
ln(cosh(x)) approx ln(1 + x^22)
Para ln(1 + x^22) approx x^22 pequeno, sabemos que . Então:

Passo 6

Substituindo de volta no limite de ln(L) = limx to 0 x^22x^2 = limx to 0 12 = 12 :

Passo 7

Agora, voltamos do logaritmo para encontrar L = e^ln(L) = e^1/2 = raize :

Resposta

raize

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