Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos conhecer as propriedades básicas das transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de .
Aplicando a transformada na equação :
(Substituí pelo resultado conhecido da transformada de .)

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar :
Para simplificar a fração, usamos a fração parcial:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Substituindo na equação :
Então, e
Portanto:

Passo 5

Agora, encontramos a transformada inversa de Laplace para obter :
Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, da reta tangente à curva no ponto em cada caso.
e
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para (Escolher dois para entregar).
Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir: