Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos conhecer as propriedades básicas das transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada
é dada por:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Aplicando a transformada na equação
:
(Substituí
pelo resultado conhecido da transformada de
.)
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar
:
Para simplificar a fração, usamos a fração parcial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Substituindo
na equação
:
Então,
e
Portanto:
Passo 5
Agora, encontramos a transformada inversa de Laplace para obter
:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para
(Escolher dois para entregar).
Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir: