28 lim x 0 3 sen^-1(5 x)-5 sen(3 x)x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar cálculo, mais especificamente as séries de Taylor para as funções seno e arco seno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar das expansões em série de Taylor para e perto de sen(x) approx x - x^36 :
Essas aproximações são válidas para valores de sen^-1(x) approx x + x^36 bem pequenos, que é o caso quando se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos aplicar essas expansões nas funções que temos na expressão do limite:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:

Passo 5

Subtraindo as duas expressões:

Passo 6

Finalmente, dividimos por 3 sen^-1(5x) - 5 sen(3x)x^3 = 85x^3x^3 = 85 :

Resposta

85

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