R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de equação exata, que é um método para resolver equações diferenciais onde existe uma função potencial que gera a equação.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos e . Uma equação diferencial é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Então:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Para simplificar, multiplicamos tudo por 3 para eliminar o denominador:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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R.
Calcule as seguintes integrais: