R.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de equação exata, que é um método para resolver equações diferenciais onde existe uma função potencial que gera a equação.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos
e
. Uma equação diferencial
é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Para simplificar, multiplicamos tudo por 3 para eliminar o denominador:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: