Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar uma solução geral para essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de equação exata, que é um método para resolver equações diferenciais onde existe uma função potencial que gera a equação.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos e . Uma equação diferencial é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Passo 4
Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Então:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos na expressão de :
Para simplificar, multiplicamos tudo por 3 para eliminar o denominador: