Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Este problema está na área de Cálculo, mais especificamente nas técnicas de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em partes mais simples. A ideia é escrever:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar. Essa é a forma padrão para decompor frações onde temos fatores lineares e quadráticos no denominador.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
  1. Primeiro, expanda :
  1. Multiplique por :
  1. Expanda :
  1. Mantenha como está:

Passo 5

Agora, junte todos os termos do lado direito:
Combine os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo constante:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Da equação 1:
Substituindo na equação 3:
Agora, substituindo e na equação 2:
Por fim, substituindo , e na equação 4:
Então:

Passo 8

Agora que temos os valores de , , e , substituímos de volta na decomposição original:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrar :
  1. Integrar :
  1. Integrar :

Passo 10

Juntando todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:

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R.

R.
Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação:
Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação: