Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Este problema está na área de Cálculo, mais especificamente nas técnicas de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em partes mais simples. A ideia é escrever:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar. Essa é a forma padrão para decompor frações onde temos fatores lineares e quadráticos no denominador.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
- Primeiro, expanda
:
- Multiplique
por :
- Expanda
:
- Mantenha
como está:
Passo 5
Agora, junte todos os termos do lado direito:
Combine os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Da equação 1:
Substituindo
na equação 3:
Agora, substituindo
e
na equação 2:
Por fim, substituindo
,
e
na equação 4:
Então:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
,
e
, substituímos de volta na decomposição original:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- Integrar
:
- Integrar
:
- Integrar
:
Passo 10
Juntando todas as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral calculada é:
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R.
R.
Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação:
Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação: