Calcule as seguintes integrais:
integral -2 x+4(x^2+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral -2 x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 dx. Este problema está na área de Cálculo, mais especificamente nas técnicas de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em partes mais simples. A ideia é escrever:
-2x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 = Ax + Bx^2 + 1 + Cx - 1 + D(x - 1)^2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar. Essa é a forma padrão para decompor frações onde temos fatores lineares e quadráticos no denominador.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x^2 + 1)(x - 1)^2 para eliminar as frações:
-2x + 4 = (Ax + B)(x - 1)^2 + C(x^2 + 1)(x - 1) + D(x^2 + 1)

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
  1. Primeiro, expanda (x - 1)^2:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
  1. Multiplique (Ax + B) por (x^2 - 2x + 1):
(Ax + B)(x^2 - 2x + 1) = Ax^3 - 2Ax^2 + Ax + Bx^2 - 2Bx + B
  1. Expanda C(x^2 + 1)(x - 1):
C(x^2 + 1)(x - 1) = Cx^3 - Cx^2 + Cx - C
  1. Mantenha D(x^2 + 1) como está:
D(x^2 + 1) = Dx^2 + D

Passo 5

Agora, junte todos os termos do lado direito:
Ax^3 - 2Ax^2 + Ax + Bx^2 - 2Bx + B + Cx^3 - Cx^2 + Cx - C + Dx^2 + D
Combine os termos semelhantes:
(A + C)x^3 + (-2A + B - C + D)x^2 + (A - 2B + C)x + (B - C + D)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
-2x + 4 = (A + C)x^3 + (-2A + B - C + D)x^2 + (A - 2B + C)x + (B - C + D)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Para x^3:
A + C = 0
  1. Para x^2:
-2A + B - C + D = 0
  1. Para x:
A - 2B + C = -2
  1. Termo constante:
B - C + D = 4

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Da equação 1:
A + C = 0 Rightarrow C = -A
Substituindo C = -A na equação 3:
A - 2B - A = -2 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1
Agora, substituindo C = -A e B = 1 na equação 2:
-2A + 1 - (-A) + D = 0 Rightarrow -2A + 1 + A + D = 0 Rightarrow -A + D = -1 Rightarrow D = A - 1
Por fim, substituindo C = -A, B = 1 e D = A - 1 na equação 4:
1 - (-A) + (A - 1) = 4 Rightarrow 1 + A + A -1 = 4 Rightarrow 2A = 4 Rightarrow A = 2
Então:
A = 2, C = -2, B = 1, D = 2 - 1 = 1

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição original:
-2x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 = 2x + 1x^2 + 1 + -2x - 1 + 1(x - 1)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrar 2x + 1x^2 + 1:
integral 2x + 1x^2 + 1 dx = integral 2xx^2 + 1 dx + integral 1x^2 + 1 dx
= ln|x^2 + 1| + arctan(x)
  1. Integrar -2x - 1:
integral -2x - 1 dx = -2 ln|x - 1|
  1. Integrar 1(x - 1)^2:
integral 1(x - 1)^2 dx = -1x - 1

Passo 10

Juntando todas as integrais:
ln|x^2 + 1| + arctan(x) - 2 ln|x - 1| - 1x - 1 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:
ln(x^2 + 1) + arctan(x) - 2,ln|x - 1| - 1x - 1 + C

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