lim x +infty(raizx^2+x-x) & =lim x +infty(raizx^2(1+1x)-x) & =lim x +infty x underbraceraiz1+underbrace1x 0-1) 0=lim x +infty(x cdot 0)=0

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem radicais e como os termos se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar raizx^2+x = raizx^2(1+1x) de dentro da raiz para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a separar o termo dominante ( ) do termo que se torna insignificante quando tende ao infinito ( ).

Passo 3

Agora, vamos tirar o raizx^2(1+1x) = xraiz1+1x de fora da raiz:
Aqui, assumimos que é positivo porque estamos considerando .

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, temos:
raizx^2+x - x = xraiz1+1x - x
Podemos fatorar o x(raiz1+1x - 1) para simplificar ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com raiz1+1x approx 1 + 12x quando tende ao infinito. Sabemos que tende a 0, então:
Isso é uma aproximação usando a expansão em série de Taylor para quando é pequeno.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
x(1 + 12x - 1) = x cdot 12x = 12
No entanto, essa aproximação nos dá uma ideia do comportamento, mas para o limite exato, precisamos considerar que o termo adicional desaparece.

Passo 7

Na verdade, ao calcular o limite exato:
lim x +infty x(raiz1+1x - 1) = lim x +infty x cdot 0 = 0
Porque quando .

Resposta

O limite é igual a .

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