Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem radicais e como os termos se comportam quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar raizx^2+x = raizx^2(1+1x) de dentro da raiz para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a separar o termo dominante () do termo que se torna insignificante quando tende ao infinito ().
Passo 3
Agora, vamos tirar o raizx^2(1+1x) = xraiz1+1x de fora da raiz:
Aqui, assumimos que é positivo porque estamos considerando .
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original, temos:
raizx^2+x - x = xraiz1+1x - x
Podemos fatorar o x(raiz1+1x - 1) para simplificar ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com raiz1+1x approx 1 + 12x quando tende ao infinito. Sabemos que tende a 0, então:
Isso é uma aproximação usando a expansão em série de Taylor para quando é pequeno.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
x(1 + 12x - 1) = x cdot 12x = 12
No entanto, essa aproximação nos dá uma ideia do comportamento, mas para o limite exato, precisamos considerar que o termo adicional desaparece.
Passo 7
Na verdade, ao calcular o limite exato:
lim x +infty x(raiz1+1x - 1) = lim x +infty x cdot 0 = 0