Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem radicais e como os termos se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar de dentro da raiz para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a separar o termo dominante ( ) do termo que se torna insignificante quando tende ao infinito ( ).

Passo 3

Agora, vamos tirar o de fora da raiz:
Aqui, assumimos que é positivo porque estamos considerando .

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, temos:
Podemos fatorar o para simplificar ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito. Sabemos que tende a 0, então:
Isso é uma aproximação usando a expansão em série de Taylor para quando é pequeno.

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
No entanto, essa aproximação nos dá uma ideia do comportamento, mas para o limite exato, precisamos considerar que o termo adicional desaparece.

Passo 7

Na verdade, ao calcular o limite exato:
Porque quando .

Resposta

O limite é igual a .

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Calcule o comprimento de arco da parábola de (0, 0) a (1, 1).
Determine a função comprimento de arco para a curva tomando como o ponto inicial.

R.