y' - 2/(x+1) y = x + 1
R. y = (x + 1)² [ln|x + 1| + c]

Passo 1

Beleza, o enunciado que temos aqui é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
Vamos resolver essa equação utilizando o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão:
No nosso caso, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante fica:
Como está no denominador, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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