(2 x cos(y) - e^x) dx - x^2 sen(y) dy = 0
R. x^2 cos(y) - e^x = c

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse problema que envolve uma equação diferencial. A gente tem:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução para essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas, que é o conteúdo da matéria que vamos usar hoje.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja,
Aqui, temos e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função de que aparece porque a constante de integração pode depender de .

Passo 4

Agora, para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos mostra que , o que significa que é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 5

Portanto, a função potencial fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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