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Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse problema que envolve uma equação diferencial. A gente tem:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução para essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas, que é o conteúdo da matéria que vamos usar hoje.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja,
Aqui, temos
e .
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora, para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos mostra que
, o que significa que
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 5
Portanto, a função potencial
fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é: