29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
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Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente esboçar a curva definida pela equação polar
, considerando que
. Para isso, vamos usar coordenadas polares e converter pra coordenadas cartesianas, que geralmente são mais fáceis de visualizar quando a gente está começando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é definido por dois valores:
, que é a distância do ponto até a origem (centro), e
, que é o ângulo que o raio forma com o eixo positivo-x. Aqui, a equação
indica que a distância
aumenta conforme o ângulo
aumenta.
Passo 3
Para desenhar essa curva no sistema de coordenadas cartesianas (o famoso x e y), precisamos converter a equação polar para a forma cartesianas. As fórmulas de conversão são:
Passo 4
Substituindo
por
na equação de conversão, ficamos com:
Agora, temos
e
em termos de
, o que facilita o plot do gráfico.
Passo 5
Vamos calcular alguns valores de
para plotar pontos específicos no gráfico:
-
Para
: Ponto: (0, 0) -
Para
(~0,785 radianos): Ponto: (~0,555, ~0,555) -
Para
(~1,571 radianos): Ponto: (~0, 1,571)
E assim por diante. Conforme
aumenta,
também aumenta, fazendo com que os pontos se afastem da origem formando uma espiral.
Resposta
A curva definida pela equação polar
para
forma uma espiral arquimediana, que se estende progressivamente para fora à medida que o ângulo
aumenta. No gráfico cartesiano, essa espiral começa na origem e dá voltas cada vez maiores, afastando-se do centro.
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Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
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29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
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