29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(33.)

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente esboçar a curva definida pela equação polar , considerando que . Para isso, vamos usar coordenadas polares e converter pra coordenadas cartesianas, que geralmente são mais fáceis de visualizar quando a gente está começando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é definido por dois valores: , que é a distância do ponto até a origem (centro), e , que é o ângulo que o raio forma com o eixo positivo-x. Aqui, a equação indica que a distância aumenta conforme o ângulo aumenta.

Passo 3

Para desenhar essa curva no sistema de coordenadas cartesianas (o famoso x e y), precisamos converter a equação polar para a forma cartesianas. As fórmulas de conversão são:

Passo 4

Substituindo por na equação de conversão, ficamos com:
Agora, temos e em termos de , o que facilita o plot do gráfico.

Passo 5

Vamos calcular alguns valores de para plotar pontos específicos no gráfico:
  • Para :
    Ponto: (0, 0)
  • Para (~0,785 radianos):
    Ponto: (~0,555, ~0,555)
  • Para (~1,571 radianos):
    Ponto: (~0, 1,571)
E assim por diante. Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que os pontos se afastem da origem formando uma espiral.

Resposta

A curva definida pela equação polar para forma uma espiral arquimediana, que se estende progressivamente para fora à medida que o ângulo aumenta. No gráfico cartesiano, essa espiral começa na origem e dá voltas cada vez maiores, afastando-se do centro.

Exercícios relacionados

Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(35)