Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite. raiz(n^2 + n) - n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência dada por raiz(n^2 + n) - n e precisamos determinar se ela converge (isto é, se ela tende a algum número específico quando n fica muito grande) ou diverge (não tende a nenhum número específico). Se ela convergir, também devemos calcular o limite para o qual ela converge.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites e álgebra para simplificar a expressão e descobrir o comportamento da sequência conforme n cresce.

Passo 2

Vamos analisar o limite da sequência quando n tende ao infinito:
Quando n fica muito grande, tanto n^2 quanto n também ficam grandes, mas n^2 cresce muito mais rápido que n. Para simplificar a expressão, podemos fatorar n^2 de dentro da raiz:
Agora, substituímos de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar n:
Para facilitar ainda mais, vamos aproximar a raiz usando uma expansão binomial para quando 1/n é muito pequeno (já que n tende ao infinito):
Substituindo essa aproximação na expressão:

Resposta

A sequência raiz(n^2 + n) - n converge, e o seu limite é 1/2.

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