Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência dada por
e precisamos determinar se ela converge (isto é, se ela tende a algum número específico quando
fica muito grande) ou diverge (não tende a nenhum número específico). Se ela convergir, também devemos calcular o limite para o qual ela converge.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites e álgebra para simplificar a expressão e descobrir o comportamento da sequência conforme
cresce.
Passo 2
Vamos analisar o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Quando
fica muito grande, tanto
quanto
também ficam grandes, mas
cresce muito mais rápido que
. Para simplificar a expressão, podemos fatorar
de dentro da raiz:
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
:
Para facilitar ainda mais, vamos aproximar a raiz usando uma expansão binomial para quando
é muito pequeno (já que
tende ao infinito):
Substituindo essa aproximação na expressão:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que, se
estiverem na curva, então
também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta
. Onde a curva intercepta essa reta?
Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
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