Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência dada por e precisamos determinar se ela converge (isto é, se ela tende a algum número específico quando fica muito grande) ou diverge (não tende a nenhum número específico). Se ela convergir, também devemos calcular o limite para o qual ela converge.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites e álgebra para simplificar a expressão e descobrir o comportamento da sequência conforme cresce.

Passo 2

Vamos analisar o limite da sequência quando tende ao infinito:
Quando fica muito grande, tanto quanto também ficam grandes, mas cresce muito mais rápido que . Para simplificar a expressão, podemos fatorar de dentro da raiz:
Agora, substituímos de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar :
Para facilitar ainda mais, vamos aproximar a raiz usando uma expansão binomial para quando é muito pequeno (já que tende ao infinito):
Substituindo essa aproximação na expressão:

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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(a) Mostre que, se estiverem na curva, então também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta . Onde a curva intercepta essa reta?
Achar o valor de para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
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