29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação polar e precisamos esboçar o gráfico dessa curva. Para isso, vamos primeiro entender o que é uma equação polar e como ela se relaciona com as coordenadas cartesianas.
Conteúdo da matéria: Coordenadas polares e Cartesianas, funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como converter coordenadas polares para cartesianas e entender o comportamento da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação . Nessa equação:
-
representa a distância do ponto ao centro (origem). -
é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
A função indica que a distância
varia conforme o ângulo
muda, e o fator 3 dentro do seno sugere que teremos múltiplas “folhas” ou “pétalas” na curva.
Passo 3
Vamos fazer uma tabela de valores para diferentes ângulos
e calcular os respectivos valores de
:
Observação: Quando
é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo
.
Passo 4
Agora, vamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
Vamos fazer isso para alguns valores de
:
-
Para
: Ponto: (0, 0) -
Para
: Ponto: (3,464, 2) -
Para
: Ponto: (0, 0) -
Para
: Ponto: (0, -4) -
Para
: Ponto: (0, 0)
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a esboçar a curva. Notamos que cada vez que
aumenta em
, a função completa um ciclo, criando pétalas.
Como temos o termo
dentro do seno, isso significa que teremos 3 pétalas na curva, já que o número de pétalas é igual a
quando a equação é da forma e
é ímpar.
Passo 6
Vamos desenhar as pétalas:
- Primeira pétala: Começa no ponto (0,0), atinge o máximo em
com , e retorna a (0,0) em . - Segunda pétala: Começa novamente no (0,0), atinge o máximo em
com (o que na prática é um deslocamento para o lado oposto), e retorna a (0,0) em . - Terceira pétala: Segue o mesmo padrão, completando o ciclo a cada
.
Resposta
A curva é uma rosa com 3 pétalas. Cada pétala se estende até
e está igualmente espaçada em intervalos de
. O esboço resultante mostrará três pétalas simétricas ao redor da origem, formando uma figura que se assemelha a uma flor de três pétalas.
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