29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(35)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação polar e precisamos esboçar o gráfico dessa curva. Para isso, vamos primeiro entender o que é uma equação polar e como ela se relaciona com as coordenadas cartesianas.
Conteúdo da matéria: Coordenadas polares e Cartesianas, funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como converter coordenadas polares para cartesianas e entender o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Nessa equação:
  • representa a distância do ponto ao centro (origem).
  • é o ângulo em relação ao eixo positivo x.
A função indica que a distância varia conforme o ângulo muda, e o fator 3 dentro do seno sugere que teremos múltiplas “folhas” ou “pétalas” na curva.

Passo 3

Vamos fazer uma tabela de valores para diferentes ângulos e calcular os respectivos valores de :
Observação: Quando é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo .

Passo 4

Agora, vamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
Vamos fazer isso para alguns valores de :
  • Para :
    Ponto: (0, 0)
  • Para :
    Ponto: (3,464, 2)
  • Para :
    Ponto: (0, 0)
  • Para :
    Ponto: (0, -4)
  • Para :
    Ponto: (0, 0)

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a esboçar a curva. Notamos que cada vez que aumenta em , a função completa um ciclo, criando pétalas.
Como temos o termo dentro do seno, isso significa que teremos 3 pétalas na curva, já que o número de pétalas é igual a quando a equação é da forma e é ímpar.

Passo 6

Vamos desenhar as pétalas:
  1. Primeira pétala: Começa no ponto (0,0), atinge o máximo em com , e retorna a (0,0) em .
  2. Segunda pétala: Começa novamente no (0,0), atinge o máximo em com (o que na prática é um deslocamento para o lado oposto), e retorna a (0,0) em .
  3. Terceira pétala: Segue o mesmo padrão, completando o ciclo a cada .

Resposta

A curva é uma rosa com 3 pétalas. Cada pétala se estende até e está igualmente espaçada em intervalos de . O esboço resultante mostrará três pétalas simétricas ao redor da origem, formando uma figura que se assemelha a uma flor de três pétalas.

Exercícios relacionados

Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(33.)
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
42.
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.
(39.)