Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência pra analisar:
. O que a questão quer é saber se essa sequência chega a um valor específico quando n fica bem grandão (ou seja, se ela converge) ou se ela não se estabiliza e fica oscilando sem fim (diverge). Pra resolver isso, vamos precisar entender um que é o limite de uma sequência quando n vai pra infinito e também como sequências alternadas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece com a parte sem o
, que é
. Quando n fica muito grande, os termos com menor potência (como
e
) ficam menos importantes comparados com
. Então, podemos simplificar:
Isso quer dizer que, se a gente ignorar o
, a expressão tende a 3 conforme n cresce.
Passo 3
Agora, vamos voltar ao nosso
. Esse termo faz a sequência alternar os sinais: quando n é par,
é 1, e quando n é ímpar, é -1. Então, a sequência inteira fica assim:
Isso significa que, conforme n fica grande, a sequência está se aproximando de 3 e -3 alternadamente.
Passo 4
Como a sequência está oscilando entre 3 e -3 sem se estabilizar em um único valor, ela não converge. Para uma sequência convergir, ela precisa chegar cada vez mais perto de um único número. Mas aqui, ela continua pulando entre 3 e -3.
Resposta
A sequência
diverge, pois não se estabiliza em um único valor quando n tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
(a) Mostre que, se
estiverem na curva, então
também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta
. Onde a curva intercepta essa reta?
29-46 Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
(33.)
(33.)
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.